Música y matemáticas. La afinación pitagórica. El origen de la escala heptatónica

Almudena M. Castro17 comentarios

¿Alguna vez os habéis preguntado por qué son así las teclas de un piano? El teclado sigue un patrón de 7 teclas blancas entre las que se intercalan 5 negras: un total de 12 teclas por octava. Las teclas blancas corresponden a las notas de la escala natural (do, re, mi, fa, sol, la, si), las teclas negras son las notas alteradas (do#, mib, fa#, sol#, sib). Entre cada tecla y la siguiente, sea blanca o negra, hay siempre el mismo intervalo: un semitono (ST), la mitad de un tono (T).  Pero entonces, ¿por qué no están todas las teclas al mismo nivel?, ¿por qué algunas notas se consideran «naturales» y otras «alteradas»?, ¿por qué los tonos y semitonos se distribuyen de esa manera y no otra en la escala natural (T, T, ST, T, T, T, ST)?, ¿por qué tiene precisamente 7 notas? (la escala pentatónica, característica de oriente, por ejemplo, sólo tiene 5). La respuesta, de nuevo, está relacionada con Pitágoras.

teclado

La afinación por 5as

El lunes os conté como la 5ª de cualquier sonido se obtiene al multiplicar su frecuencia por 3. Sin embargo, así obtenemos su quinta una octava más aguda. En rigor, tendríamos un intervalo de 12ª (una 8ª más una 5ª: como al medir los intervalos tomamos las dos notas de los extremos, las sumas en música no funcionan, siempre dan uno de más). Ese mismo sonido, una octava baja, se hallaría en una proporción de 3/2 respecto a la fundamental, y ésta es la proporción que Pitágoras tomó como base de su sistema musical.

Para reconstruir este sistema, partiremos de la nota do y supondremos, nuevamente, que su frecuencia es 1. A partir de ahí, la multiplicaremos sucesivamente por 3/2 para obtener cada nuevo sonido de la escala natural. La mayoría de estos sonidos aparecerán en escalas más agudas, pero para obtener estos sonidos en la escala original no tenemos más que bajarles una o varias veces de 8ª, esto es: dividir su frecuencia entre dos. El resultado es el que podéis ver en la siguiente imagen:

teclado-quintasCon estos datos podemos observar varias particularidades de la escala:

intervalosgráficamejorado

  1. Existen cinco intervalos de mayor tamaño y dos claramente más pequeños. Los intervalos más pequeños se encuentran entre el mi y el fa, y entre el si y el do agudo. Si observamos el teclado del comienzo, vemos que entre las teclas blancas correspodientes a estas notas no hay ninguna tecla negra: son los dos únicos intervalos de semitono que encontramos en la escala natural.
  2. La diferencia de frecuencias va aumentando según nos acercamos al agudo. No obstante, nosotros percibimos los intervalos de tono como iguales debido a que nuestra percepción es logarítmica (para intervalos iguales, donde a y b son frecuencias, se cumple que loga – logb = cte).
  3. Podríamos seguir añadiendo quintas obteniendo así sonidos intermedios, pero los intervalos comenzarían a ser menos homogéneos. No obstante, este es el origen de la escala cromática, como veremos el próximo día.

También podemos observar que esta escala tiene ciertos defectos o incoherencias.

  1. El semitono no es la mitad exacta de un tono, (256/243 ≠ √9/8). Por ello, mediante esta afinación, obtendremos dos tipos de semitonos distintos: cromáticos y diatónicos, como veremos el próximo día.
  2. La tercera dista mucho de ser «consonante», según la definición que dimos en un principio y la proporción que determinamos el pasado lunes (81/64 = 1,265625 ≠ 5/4 = 1,25). La tercera en esta escala resulta un poco disonante al ser mayor de lo que debería, y se la suele llamar ditono pitagórico.

Los modos griegos

Los griegos no utilizaban preferentemente la escala de do. En estas entradas la tomamos como referencia por ser la escala que se utilizó sistemáticamente en la música occidental a partir del Renacimiento (aproximadamente). Hoy la conocemos como escala diatónica Mayor. A veces se utiliza también la escala diatónica menor, que sería la escala de los sonidos naturales (las teclas blancas) solo que empezando desde la (T, ST, T, T, ST, T, T).

Los griegos, en cambio, tenían 8 escalas diferentes llamadas modos. El patrón interválico seguía siendo el mismo que el que acabamos de describir, solo que empezando desde distintos puntos de la escala. El modo más importante para los griegos, por ejemplo, era el modo dórico; la escala que va de mi a mi (ST, T, T, T, ST, T, T).

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De vidrios, cristales y reciclaje

Iñaki Úcar30 comentarios

Cuántas veces os habéis plantado frente a los contenedores de reciclaje con un objeto en la mano y os han asaltado las dudas: ¿esto va con los envases o con la basura orgánica? ¿De qué material será? ¿Le quito el plastiquito antes de tirarlo? ¿El corcho dónde se tira? Y os habéis quedado con la sensación de que reciclar es complicado, pero no, en realidad es más difícil todavía. O tal vez lo que pasa es que hay muy poca información al respecto; o las dos cosas, no lo sé.

Hasta hoy yo tenía la sensación de que el reciclaje del vidrio era el único que no dejaba lugar a dudas. Lo que llamamos habitualmente de forma coloquial «cristal» —que no es tal, puesto que el cristal es un material con estructura cristalina, es decir, con sus partículas (átomos, iones o moléculas) ordenadas en una estructura geométrica regular (la materia sólida en general tiene estructura cristalina, aunque tienen especial interés los monocristales como las piedras preciosas, el cuarzo, la sal, etc.), mientras que el vidrio es un material típicamente sintético (existen algunos vidrios naturales) con una estructura amorfa producto de la fusión de varios materiales a altas temperaturas— es fácilmente reconocible y por lo tanto fácilmente separable. Pero las cosas no son tan fáciles tampoco en lo que la vidrio se refiere, cosa que desconocía.

CristalVidrio
Óxido de silicio (SiO2) con estructura cristalina (cuarzo) y con estructura vítrea.

El caso es que me sorprendía durante el informativo de la hora de comer con una noticia que luego he encontrado en 20minutos: Botellas sí; vasos y copas, no. Buscando en Internet tampoco he obtenido mucha información, tan sólo el siguiente pasaje en un artículo al respecto:

El vidrio para envases es el único vidrio que en la actualidad se recicla en grandes cantidades. El vidrio de ventanas, bombillas, espejos, platos de cerámica, vasos, recipientes para el horno y fibra de vidrio no es reciclable junto con el vidrio de envases, y se considera contaminante en el reciclaje de los mismos.

Es la primera vez que tengo constancia de este hecho, pero lo que me sorprende más todavía es no hallar ninguna explicación al respecto, ni una razón, ni un porqué (si lo sabéis o lo encontráis, agradecería información).

Mención aparte merece el tratamiento de la información hecho por parte de la periodista, ya que consigue todo lo contrario: generar confusión y desinformación. Del susodicho artículo se extrae que los vasos, copas, etc., no deben ir al contenedor del vidrio (cierto) porque son de cristal, no de vidrio, lo cual es completamente falso. Ya hemos visto que todo lo que conocemos como «cristal» (vasos, botellas, botes, copas, bombillas, ventanas, espejos, etc.) es vidrio. El hecho de que los objetos determinados descritos más arriba no sean reciclables —por el motivo que sea—, no quita que sean vidrio; otro tipo de vidrio, con otros compuestos, tal vez, pero vidrio.

Así que, señores periodistas, ya va siendo hora de aprender la lección. Para informar en un sentido no es necesario desinformar en otro. Todo es vidrio, ahora bien, el vidrio reciclable es el de los envases (botellas y botes), y va en el contenedor del vidrio; el resto (vasos, ceniceros, cerámica, copas), al contenedor de envases al contenedor de materia orgánica y restos. Y bombillas y demás, por supuesto, al punto limpio.

Actualización (17/07/09): Y también se equivocan en esto en el periódico. Que se equivocasen en qué es vidrio y qué es cristal me parecía hasta normal, dentro de las cagadas habituales de los diarios en estos temas. Pero al tema de dónde tirar una copa o un vaso, le daba cierta credibilidad puesto que se suponía que habían acudido a la planta de reciclaje a preguntar por eso precisamente. De todas formas, solucionado.

Página de ‘Error 404’ reformada

Iñaki Úcar8 comentarios

Aviso para navegantes. Casi un año después, por fin me he desperezado y he acabado las tareas que me había propuesto, concretamente la de la reforma de la página de Error 404. Ahora esto ya es un blog de verdad. ;-)

Espero que se vea bien en todos los navegadores (actuales, al menos). Si tenéis curiosidad, seguro que se os ocurren millones de maneras de verla.

Inmortales (2)

Almudena M. Castro

El disco ha de estar rayado en ese sitio, porque hace un ruido raro. Y hay algo que aprieta el corazón: esa tosecita de la aguja en el disco no afecta en absoluto a la melodía. Está tan lejos, tan lejos, atrás. También lo comprendo: el disco se raya y se gasta, quizá la cantante haya muerto; me iré, voy a tomar el tren. Pero detrás de lo existente que cae de un presente a otro sin pasado, sin porvenir, detrás de esos sonidos que día a día se descomponen, se descascaran y se deslizan hacia la muerte, la melodía sigue siendo la misma, joven y firme, como un testigo despiadado.

(Jean-Paul Sartre, escritor, filósofo y dramaturgo francés, en La Náusea)

Conceptos musicales: nota, tono, figura y ‘pitch’

Iñaki Úcar1 comentario

Estos días, habréis venido leyendo —unos con mayor interés que otros— una serie de entradas sobre música y matemáticas que presumiblemente continuará, puesto que el tema da para mucho. En este punto, y antes de que sea demasiado tarde, me gustaría hacer un alto en el camino y aclarar algunos conceptos musicales algo confusos, sobre los que no hay una estandarización clara, ya que dependen del contexto e incluso del idioma. Me refiero a los conceptos «nota» («note»), «tono» («tone»), «figura» («figure») y «pitch» (que no tiene una traducción clara al castellano, tal vez «afinación»).

En inglés, el término note tiene dos usos, dependiendo del contexto:

  1. Designar un sonido con una afinación determinada y una duración relativa. Por ejemplo, un do5 (do del tercer espacio en clave de sol) corchea. Vemos que es duración relativa porque la corchea durará más o menos dependiendo del tempo que tengamos.
  2. Referirse a las notas de la escala, independientemente de la altura y la duración, a saber: do, re, mi, fa, sol, la, si; más sus correspondientes compuestos con sostenidos y bemoles.

En castellano, nota también significa cualquiera de las dos cosas indistintamente. Además, en castellano tenemos la palabra figura para referirnos a la duración relativa del sonido, independientemente de su altura (corchea, negra, blanca, semicorchea, etc.). En inglés, en cambio, no disponen del término figure para estos menesteres, puesto que lo utilizan para designar lo que en castellano (y también en francés y alemán) llamamos motivo: una pequeña idea musical compuesta por unas pocas notas (aquí, primera acepción).

En inglés, el término tone se utiliza para muchas cosas:

  1. Referirse a la afinación de un sonido, lo agudo o lo grave que es. Por ejemplo: un la a 440 Hz o un la a 442 Hz.
  2. Referirse a una nota (segunda acepción).
  3. Referirse al timbre de un sonido.

En castellano, tono se utiliza para lo siguiente:

  1. Designar un sonido puro (una sinusoide), de una sola frecuencia —en inglés, pure tone (tono puro).
  2. Referirse a la diferencia interválica correspondiente a una 2ª Mayor. Así, se dice que de do a re hay 1 tono, de mi a fa# también hay 1 tono —en inglés, whole tone—, mientras que de mi a fa o de si a do hay medio tono o 1 semitono —en inglés, semitone.
  3. En ocasiones, referirse a la altura de un sonido, como la primera acepción en inglés (más raro).

Ya veis que en este último término hay bastante más lío. No sucede así en pitch, palabra con difícil traducción que suele utilizarse tal cual en castellano. Su significado es parecido a la primera acepción de tone con un matiz: se refiere a la percepción subjetiva del sonido, aunque este no se produzca. Me explico. Si tocamos el do central del piano, estaremos produciendo un tono a 261.6 Hz más sus correspondientes armónicos a frecuencias múltiplos de esta, lo que le proporciona su timbre característico. El pitch de este sonido, es obviamente 261.6 Hz. Ahora bien, grabamos ese sonido de manera fidedigna, y mediante un procesado de la señal eliminamos el tono a 261.6 Hz dejando sólo los armónicos. Al volver a reproducirlo, nuestro oído seguirá oyendo un do a 261.6 Hz (con un timbre distinto, eso sí) aunque este, de hecho, ya no esté. Por ello, el pitch de este sonido modificado sigue siendo 261.6 Hz.

Quede aquí pues esta pequeña explicación de los conceptos con la intención de no haberlos enrevesado más de lo que estaban.