Enchufa2

A petición de Zarlino en el post anterior, he creado con MATLAB unas muestras de sonido para ilustrar cómo suenan los intervalos que os indicaba el otro día en gráficas de sumas de cosenos. Recordemos que habíamos llegado a dos conclusiones:

1. La disonancia está asociada a la presencia de una envolvente en la suma de los sonidos implicados en el intervalo, y esto se traduce en una sensación auditiva de «batidos».
2. Estos «batidos» son más fuertes cuanto más próximos en frecuencia están los sonidos, en consecuencia, la sensación de disonancia será mayor cuanto menor sea el intervalo.

He aquí los ejemplos de audio:

Primero quiero pedir disculpas por la última muestra, porque la mezcla de armónicos que he hecho ha quedado un poco dura (aunque en esto tiene mucho que ver el ataque, algún día os contaré…). Y segundo, comentar que estoy hablando todo el tiempo de consonancia perceptiva (término acuñado por Deutsch, 1982)^[1], directamente relacionada con la proximidad de frecuencias y presencia de estos batidos (Helmholtz, 1863)^[2], y base de la consonancia musical. La primera constituye un concepto puramente físico y fisiológico, mientras que en la segunda influyen aspectos culturales e históricos.

Ahora hablaremos de vuestra sorpresa, la sorpresa que supongo os habrá producido escuchar la quinta muestra, porque probablemente a la mayoría de vosotros os habrá resultado más desagradable, más disonante, la cuarta muestra que la quinta. ¿No decíamos que a mayor proximidad, mayor disonancia? Eso es cierto, pero hasta ahí ha llegado únicamente nuestra teoría física sobre la consonancia: todavía no hemos tenido en cuenta nuestra fisiología, nuestro oído.

Y es que nuestro sistema auditivo es un sistema real, por tanto no ideal, con ciertas limitaciones. Podemos modelar nuestro oído como un banco de filtros que proporcionan cierta respuesta en frecuencia. En concreto, la culpable de esta respuesta es la membrana basilar, situada en la cóclea. Se trata de una membrana que se encarga de separar las frecuencias que componen el sonido para que cada una de estas frecuencias sea detectada por un grupo de células destinadas a tal efecto. Para separarlas, la membrana basilar varía en masa y rigidez a lo largo de su longitud, es decir, varía su frecuencia de resonancia y de esta manera en cada trocito vibra una sola frecuencia y las demás son atenuadas. Esto limita la resolución frecuencial del oído humano. Es decir, si hay dos tonos demasiado próximos en frecuencia, nuestro cerebro no los distingue bien y por lo tanto la sensación de disonancia es menor.

Aquí entra el concepto de banda crítica^[3], que técnicamente se define como el ancho de banda de ruido alrededor de una frecuencia que es efectivo en el enmascaramiento de la misma. Coloquialmente, diremos que, dada una frecuencia, existe una porción de frecuencias alrededor de la misma en la que nos es complicado distinguir dos tonos porque están demasiado próximos, es decir, la porción de frecuencias que activan la misma zona de la membrana. Lógicamente, un oído entrenado es más capaz de discriminar tonos y por lo tanto a los músicos la quinta muestra de sonido nos suena a rayos, mientras que a otros les parecerá que suena un solo tono.

La siguiente gráfica ilustra muy bien la consonancia perceptiva en función de la porción del ancho de banda crítico que abarca el intervalo. Vemos que nuestras predicciones iniciales se cumplen a partir de 0.3, pero que también aparecen estos efectos no ideales en el origen, donde la consonancia vuelve a aumentar conforme la diferencia frecuencial tiende a cero.

Así pues, las limitaciones de nuestro sistema auditivo hacen que, para una persona con un oído medio, la máxima disonancia perceptiva se sitúe en torno al semitono. Esto varía, puesto que el ancho de banda crítico también varía con la frecuencia. La siguiente gráfica ilustra la posición de la máxima disonancia a distintas frecuencias base:

^[1] The Psychology of Music, D. Deutsch, 1982.
^[2] On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music, H. Helmholtz, 1863.
^[3] Tonal Consonance and Critical Bandwidth, R. Plomp y J. R. Levelt, 1965.

Cada octava, en el sistema musical occidental, está dividida en 12 semitonos que juntos forman la escala cromática. Estos son los 12 sonidos básicos con los que está escrita el 90% de la música que conocemos y solemos escuchar, desde el medievo hasta nuestros días. El sistema no lo inventó pitágoras: surgió en Europa en la Baja Edad Media. Sin embargo, es consecuencia de la idea de afinar los intervalos por quintas, de ahí que sigamos hablando de afinación pitagórica. La división en 12 sonidos, por tanto, no es una cuestión trivial ni arbitraria: parte de una base previa, con sus ventajas e inconvenientes.

Muchos músicos a lo largo de toda la historia han propuesto sistemas diferentes, con una octava dividida en más sonidos. Prueba de ello son los teclados de instrumentos antiguos, muchos del Renacimiento (la época dorada de la música instrumental), que pueden llegar a tener hasta 31 teclas por octava (podéis encontrar más fotos aquí o pinchando sobre la imagen), o las teorías de músicos contemporáneos interesados en el microtonalismo (Rodion Romanov nos habló en un comentario de sonido 13, por ejemplo, donde proponen un sistema de 96 sonidos por octava, pero hay muchos más).

El círculo de 5^as

La semana pasada vimos que los sonidos de la escala natural se obtenían sumando quintas desde un sonido de partida dado (en nuestro ejemplo, el do). Si continuásemos haciéndolo hasta completar 12 quintas obtendríamos los 5 sonidos que nos faltaban: las notas alteradas (las teclas negras). Sin embargo: ¿por qué pararse en el sonido número 12? Bien, la respuesta es que al subir 12 quintas, volvemos a obtener el sonido original, solo que 7 octavas más arriba. El sonido original… más o menos, de hecho, más bien menos que más y es que, como imaginaréis, por más que multipliquemos 3/2 a la enésima potencia nunca obtendremos, exactamente, una potencia de 2 y por tanto, nunca volveremos a oír exactamente el sonido del que partimos. Por ello, con este tipo de afinación el círculo de quintas no es tal: nunca llega a cerrarse. Se parece más a una espiral que podríamos prolongar hasta el infinito, obteniendo siempre sonidos intermedios de los que ya tenemos. Y aquí es donde nace la discrepancia: la espiral, en efecto, puede forzarse para quedar cerrada en el sonido número 12. A fin de cuentas, el sonido número 13 se hallaría a relativamente poca distancia del punto de partida y nuestra capacidad de discernir es limitada. Pero esta solución no es la única, según muchos tampoco la mejor y desde luego, tiene sus desventajas. Para entender la polémica pasaremos a analizar lo imperfecto que, de hecho, es el «círculo de quintas».

12 quintas no son 7 octavas

No, no lo son. Podéis comprobarlo con una calculadora: . De hecho, la diferencia parece bastante significativa. Sin embargo, debemos recordar que en música las «distancias» se perciben como proporciones. Si realizamos esta operación, vemos que el resultado es bastante parecido a 1: . Este intervalo se conoce como coma pitagórica y es menos de un octavo de tono.

En esta gráfica podéis ver una espiral logarítmica donde la frecuencia de cada sonido viene representada: . De este modo, cada vez que el ángulo se hace ó , obtenemos una nueva potencia de 2, esto es, volvemos a oír un do.

En este tipo de gráfica los intervalos vienen dados por ángulos: a ángulos iguales, intervalos iguales. El intervalo de 8ª, vendría representado por un ángulo de 2π. Para calcular el ángulo correspondiente a otra frecuencia o intervalo, invertiremos la fórmula anterior: . Así podemos hallar también el ángulo correspondiente a una 5ª: . O el ángulo correspondiente a la coma pitagórica (esto es: la distancia entre el re# y el mi♭, o entre el si# y el do), bastante pequeño en comparación: .

Este pequeño error, no obstante, supone bastantes inconvenientes de cara al desarrollo posterior de la música tonal. Por ello, el sistema de afinación pitagórico terminó siendo rechazado en pro del sistema temperado que utilizamos actualmente. En la próxima entrada veremos cuáles son estos inconvenientes.