Música y matemáticas. Física de la consonancia (2)

A petición de Zarlino en el post anterior, he creado con MATLAB unas muestras de sonido para ilustrar cómo suenan los intervalos que os indicaba el otro día en gráficas de sumas de cosenos. Recordemos que habíamos llegado a dos conclusiones:

1. La disonancia está asociada a la presencia de una envolvente en la suma de los sonidos implicados en el intervalo, y esto se traduce en una sensación auditiva de «batidos».
2. Estos «batidos» son más fuertes cuanto más próximos en frecuencia están los sonidos, en consecuencia, la sensación de disonancia será mayor cuanto menor sea el intervalo.

He aquí los ejemplos de audio:

Primero quiero pedir disculpas por la última muestra, porque la mezcla de armónicos que he hecho ha quedado un poco dura (aunque en esto tiene mucho que ver el ataque, algún día os contaré…). Y segundo, comentar que estoy hablando todo el tiempo de consonancia perceptiva (término acuñado por Deutsch, 1982)^[1], directamente relacionada con la proximidad de frecuencias y presencia de estos batidos (Helmholtz, 1863)^[2], y base de la consonancia musical. La primera constituye un concepto puramente físico y fisiológico, mientras que en la segunda influyen aspectos culturales e históricos.

Ahora hablaremos de vuestra sorpresa, la sorpresa que supongo os habrá producido escuchar la quinta muestra, porque probablemente a la mayoría de vosotros os habrá resultado más desagradable, más disonante, la cuarta muestra que la quinta. ¿No decíamos que a mayor proximidad, mayor disonancia? Eso es cierto, pero hasta ahí ha llegado únicamente nuestra teoría física sobre la consonancia: todavía no hemos tenido en cuenta nuestra fisiología, nuestro oído.

Y es que nuestro sistema auditivo es un sistema real, por tanto no ideal, con ciertas limitaciones. Podemos modelar nuestro oído como un banco de filtros que proporcionan cierta respuesta en frecuencia. En concreto, la culpable de esta respuesta es la membrana basilar, situada en la cóclea. Se trata de una membrana que se encarga de separar las frecuencias que componen el sonido para que cada una de estas frecuencias sea detectada por un grupo de células destinadas a tal efecto. Para separarlas, la membrana basilar varía en masa y rigidez a lo largo de su longitud, es decir, varía su frecuencia de resonancia y de esta manera en cada trocito vibra una sola frecuencia y las demás son atenuadas. Esto limita la resolución frecuencial del oído humano. Es decir, si hay dos tonos demasiado próximos en frecuencia, nuestro cerebro no los distingue bien y por lo tanto la sensación de disonancia es menor.

Aquí entra el concepto de banda crítica^[3], que técnicamente se define como el ancho de banda de ruido alrededor de una frecuencia que es efectivo en el enmascaramiento de la misma. Coloquialmente, diremos que, dada una frecuencia, existe una porción de frecuencias alrededor de la misma en la que nos es complicado distinguir dos tonos porque están demasiado próximos, es decir, la porción de frecuencias que activan la misma zona de la membrana. Lógicamente, un oído entrenado es más capaz de discriminar tonos y por lo tanto a los músicos la quinta muestra de sonido nos suena a rayos, mientras que a otros les parecerá que suena un solo tono.

La siguiente gráfica ilustra muy bien la consonancia perceptiva en función de la porción del ancho de banda crítico que abarca el intervalo. Vemos que nuestras predicciones iniciales se cumplen a partir de 0.3, pero que también aparecen estos efectos no ideales en el origen, donde la consonancia vuelve a aumentar conforme la diferencia frecuencial tiende a cero.

Así pues, las limitaciones de nuestro sistema auditivo hacen que, para una persona con un oído medio, la máxima disonancia perceptiva se sitúe en torno al semitono. Esto varía, puesto que el ancho de banda crítico también varía con la frecuencia. La siguiente gráfica ilustra la posición de la máxima disonancia a distintas frecuencias base:

^[1] The Psychology of Music, D. Deutsch, 1982.
^[2] On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music, H. Helmholtz, 1863.
^[3] Tonal Consonance and Critical Bandwidth, R. Plomp y J. R. Levelt, 1965.