Problema de nitidez: la solución

Iñaki Úcar10 comentarios

A continuación, la solución al problema propuesto ayer. De ahora en adelante, asumiremos que la bicicleta se desplaza por el eje real de izquierda a derecha (de los números negativos a los positivos o, dicho de otra manera, con velocidad positiva) y que captamos la instantánea justo a su paso por el origen. De esta forma, podemos usar el sistema de coordenadas polares con comodidad.

El problema reside en aplicar el principio de superposición de movimientos: por un lado tenemos el movimiento rectilíneo horizontal de la bicicleta, de izquierda a derecha, como hemos comentado; por otro lado, tenemos el giro de la rueda. Esto se denomina movimiento rototraslatorio.

Obviamente, habrá puntos —como se puede intuir a partir de la imagen— en los que la velocidad de rotación se cancelará con la velocidad de traslación y, por ende, saldrán en nuestra fotografía. Para resolverlo, habrá que descomponer la velocidad de rotación de todos los puntos de la rueda en sus componentes vertical y horizontal. Tras esto, a la componente horizontal hay que sumarle la velocidad de traslación y volver a componer el módulo del vector velocidad mediante Pitágoras.

En primer lugar, si la rueda es de radio R, tenemos que la velocidad angular vale 22/R (que no se asusten los físicos: vamos a meter todos los valores en kilómetros y en horas para no andar haciendo conversiones). La velocidad de rotación en cada punto de la rueda va a ser de 22r/R, con r\le R.

Para hallar las componentes vertical y horizontal de dicha velocidad, es fácil ver que basta con multiplicar por el -\cos\theta y el \sin\theta respectivamente. A continuación, le sumamos la velocidad de la bicicleta a la componente horizontal y volvemos a hallar el módulo de la velocidad total sumando los cuadrados de las componentes y hallando la raíz cuadrada. Por último, exigimos que este módulo sea menor o igual a 11, la velocidad máxima a la que la fotografía sale nítida. Es decir:

\sqrt{\left(\dfrac{22r}{R}\sin\theta+22\right)^2+\left(-\dfrac{22r}{R}\cos\theta\right)^2}\le11\qquad r\le R

Si manipulamos esta expresión convenientemente, podemos llegar a lo siguiente:

r^2-2rR\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)+R^2\le\left(\dfrac{R}{2}\right)^2

Que no es otra cosa que la expresión, en coordenadas polares, de un círculo con centro en (R,-\pi/2) y radio R/2. Por último, si representamos la expresión de arriba, obtenemos el área coloreada de verde —el esperado círculo— que podemos ver en la imagen inferior.

Problema de nitidez

Almudena M. Castro21 comentarios

Mi tía, consciente de que tengo unos vicios un poco raros, me ha enviado este curioso problema, no demasiado difícil de resolver y con un resultado curioso. Dice así:

Una bicicleta avanza por una calle a 22 km/h. La rueda es un disco compacto, cubierto con un texto publicitario y un fotógrafo le saca una foto desde un punto fijo, con la cámara totalmente inmóvil. Debido al tiempo de exposición, sólo saldrán nítidas las letras que se muevan a menos de 11 km/h. ¿Qué partes de la rueda podrán leerse en la fotografía?

Publicaremos la solución mañana.

¿Cuántas series dodecafónicas diferentes hay?

Iñaki Úcar15 comentarios

El dodecafonismo es una técnica compositiva ideada por Arnold Schönberg a principios del siglo XX como una evolución natural de la música tonal, o al menos lógica. El Romanticismo y el Postromanticismo alemán, de la mano de compositores como Wagner y Mahler, habían llevado el sistema tonal hasta sus últimas consecuencias añadiendo cada vez más tensiones, más disonancias. De entre las corrientes que surgieron a finales del siglo XIX y principios del XX que reaccionaban contra todo lo anterior (contra la música tonal, por tanto), aparece la música atonal enmarcada dentro de la corriente estética del Expresionismo. El sistema atonal pretende ser lo contrario del sistema tonal: ningún sonido es más importante que otro y además no pueden combinarse de ninguna manera que recuerde a la tonalidad. Schönberg hablaba de «la democracia de los sonidos». Y el dodecafonismo surge como una técnica, una metodología, para hacer música atonal.

Para componer una obra dodecafónica, el primer paso es escoger una serie con la que trabajar. Una serie dodecafónica es una ordenación de los doce sonidos del sistema temperado (Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, Si) sin repeticiones; es decir, una permutación de estas doce notas. En los libros de teoría musical suele decirse que las series constituyen un material casi inagotable, puesto que pueden formarse unas 500 millones. Está clara la cuenta que han hecho: permutaciones de 12 elementos, 12! = 479 001 600 series. Sin embargo, las reglas del dodecafonismo (mucho más estrictas que las «ataduras» del sistema tonal de las que se pretendía huir) nos reducen bastante la cantidad final disponible. Concretamente, para el que tenga prisa por saber la solución (el resto que siga leyendo), el material total asciende a:

\dfrac{11!+2\times5!+6\displaystyle\prod_{k=1}^52k}{4}=9\,985\,020\mbox{ series}

Siguen siendo un buen puñado, pero desde luego ya no parecen «inacabables», y más teniendo en cuenta que se evitaban las progresiones que sonasen «tonales» (como Do-Mi-Sol, por ejemplo), así que de esos 10 millones realmente habría que quitar muchas más.

¿Cómo hemos sacado la cuenta? Antes que nada, para aclararnos mejor a partir de ahora, vamos a identificar cada nota con un número (o con una letra cuando se nos acaben los números), a saber: 0123456789AB. En primer lugar, hay que conocer un par de reglas fundamentales:

  1. Los once transportes posibles de una serie se consideran el mismo material. Transportar una serie consiste en sumarle a todas las notas un número de semitonos constante. Por ejemplo, {0123456789AB} + 1 = {123456789AB0} (perdonadme por esta notación improvisada). Es de recibo, por tanto, dividir entre doce esos casi 500 millones iniciales.
  2. Cada serie tiene 3 derivadas que se consideran el mismo material: la inversión, la retrogradación, y la retrogradación de la inversión. I, R y RI respectivamente a partir de ahora. La I consiste en invertir el sentido de la serie (para {0123456789AB}, I = {0BA987654321}); la R consiste en leerla de atrás hacia adelante (para {0123456789AB}, R = {BA9876543210}); y la RI consiste en realizar ambas cosas (para {0123456789AB}, RI = {123456789AB0}).

Resumiendo, cuando un compositor elige su material para comenzar a componer una obra dodecafónica, escoge una serie. Y esta serie le proporciona un material compuesto de 48 series que se consideran la misma y que puede utilizar a su antojo: la original, la I, la R, la RI y los transportes de todas ellas. Parece lógico, entonces, dividir entre cuatro la cantidad que nos había quedado de eliminar los transportes (al dividir entre doce en el primer punto). Sin embargo, aquí surge una dificultad: hay ciertas series con características muy peculiares que únicamente tienen una derivada (más los transportes, eso siempre). Me refiero a las series con simetría par y las series con simetría impar.

  • En las series con simetría par (como ejemplo, una famosa de Webern: {967845BA2103}), la R coincide con la original (transportada),  y la RI coincide con la I. Por lo tanto, únicamente tenemos dos en lugar de cuatro: O (original) e I.
  • En las series con simetría impar (como ejemplo, la de antes: {0123456789AB}), la RI coincide con la O, y la R con la I. Por lo tanto, también tenemos dos: O e I.

La dificultad de este problema, radica en contar el número de series con simetría que existen: estas habrá que dividirlas entre dos y el resto entre cuatro. Para esta tarea, vamos a considerar que hemos eliminado todos los transportes dividiendo esos 500 millones entre 12. Daos cuenta de que esto es equivalente a fijar la primera nota a (por ejemplo) {0} y escoger las otras 11.

Series con simetría par

El tritono (diferencia de 6 en nuestro sistema de números) es el único intervalo que al invertirlo se queda igual. Si invertimos {06} nos queda {06} (sumar o restar 6 a {0} nos da siempre {6}). Por lo tanto, una serie tendrá simetría par si y sólo si cada par de notas opuestas (primera y última, segunda y penúltima, etc.) tienen una diferencia de 6. En la escala existen 6 tritonos: {06}, {17}, {28}, {39}, {4A} y {5B}. Así pues, se trata de permutaciones de 5 elementos (recordad que hemos fijado la primera nota a {0}, y por tanto, la última a {6}) y además cada uno de ellos tiene dos posiciones ({17} ó {71}, por ejemplo). Por ello, el número de series con simetría par (sin contar los transportes) es de 2\times5!.

Series con simetría impar

Estas son más complejas. Vamos a ir poniendo notas en la serie de fuera hacia dentro. Tenemos la primera, {0}, y en principio 11 posibilidades para la última. Existen dos casos: que la diferencia entre la primera y última nota sea par o que sea impar. Si la diferencia es par, a la hora de colocar la segunda nota y la penúltima tenemos un problemón: tenemos vetadas dos notas. ¿Por qué? Imaginemos que escogemos {0} y {8} como primera y última nota. Si queremos poner {4} como segunda nota ({0} + 4 = {4}) nos obliga a que la penúltima nota sea {8} — 4 = {4} (!!). Imposible: no se pueden repetir notas. Lo mismo sucede en este ejemplo con la nota {A}. Bien, no hay problema, escogemos otra nota que no sea {4} ni {A}. ¿Qué ocurre entonces? Que pongamos la que pongamos como segunda, nos va a dar una diferencia con la penúltima que va a ser par, luego, a la hora de colocar la tercera nota, nos encontramos con el mismo problema que antes. Si seguimos con el razonamiento, vamos a llegar a la elección de las dos últimas notas y volveremos a tener dos notas vetadas, ¡pero ya no quedan otras!

Conclusión: una serie podrá tener simetría impar si y sólo si la diferencia entre cada par de notas opuestas (primera y última, segunda y penúltima, etc.) es impar. Y es fácil ver que una característica necesaria y suficiente para que se cumpla lo anterior es que la diferencia entre las notas de los extremos sea impar. Volviendo a nuestro planteamiento, si la primera nota es {0}, la última sólo puede ser {1}, {3}, {5}, {7}, {9} ó {B}. 6 opciones. Con dos fijadas, para la segunda nota tenemos 10 posibilidades y, a su vez, fijar esta nota determina la penúltima. Con cuatro fijadas, para la tercera nota tenemos 8 posibilidades… etc. El número total de series con simetría impar (sin contar los transportes) es de 6\times10\times8\times6\times4\times2.

Y para terminar y hallar esas casi 10 millones de series, realizamos el siguiente cálculo:

\dfrac{11!-2\times5!-6\times10\times8\times6\times4\times2}{4}+\dfrac{2\times5!+6\times10\times8\times6\times4\times2}{2}=\\\dfrac{11!+2\times5!+6\displaystyle\prod_{k=1}^52k}{4}=9\,985\,020\mbox{ series}

Gracias a Tito Eliatron por su ayuda y su paciencia, y enhorabuena al que haya llegado hasta el final de este ladrillo.

«Es nuestra cultura»

Almudena M. Castro33 comentarios

Es nuestra cultura. No podemos confiar en las mujeres no circuncidadas.

Cuando es extirpado, su urgencia [sexual] desaparece. Por eso tiene que ser cortado. Por eso lo llaman «cortar el diablo». La parte satánica ha sido extraída y la mujer se queda en casa tranquila.

Jóvenes de Djibouti explican la ablación femenina en un documental titulado The cutting tradition. En esta región el 90% de las mujeres de entre 15 y 49 años han sido sometidas a este tipo de tortura. No son clérigos, son todavía más radicales.

Hoy se celebra el día internacional contra la mutilación genital femenina. ¿Las religiones no hacen daño a nadie? Los cojones.

Prioridades

Almudena M. Castro6 comentarios

Ponle unos electrodos a una rata, dale un botón que produzca orgasmos y lo pulsará hasta morir de hambre.

(Leslie Winkle, uno de los personajes de The Big Ban Theory)