El dodecafonismo es una técnica compositiva ideada por Arnold Schönberg a principios del siglo XX como una evolución natural de la música tonal, o al menos lógica. El Romanticismo y el Postromanticismo alemán, de la mano de compositores como Wagner y Mahler, habían llevado el sistema tonal hasta sus últimas consecuencias añadiendo cada vez más tensiones, más disonancias. De entre las corrientes que surgieron a finales del siglo XIX y principios del XX que reaccionaban contra todo lo anterior (contra la música tonal, por tanto), aparece la música atonal enmarcada dentro de la corriente estética del Expresionismo. El sistema atonal pretende ser lo contrario del sistema tonal: ningún sonido es más importante que otro y además no pueden combinarse de ninguna manera que recuerde a la tonalidad. Schönberg hablaba de «la democracia de los sonidos». Y el dodecafonismo surge como una técnica, una metodología, para hacer música atonal.
Para componer una obra dodecafónica, el primer paso es escoger una serie con la que trabajar. Una serie dodecafónica es una ordenación de los doce sonidos del sistema temperado (Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, Si) sin repeticiones; es decir, una permutación de estas doce notas. En los libros de teoría musical suele decirse que las series constituyen un material casi inagotable, puesto que pueden formarse unas 500 millones. Está clara la cuenta que han hecho: permutaciones de 12 elementos, 12! = 479 001 600 series. Sin embargo, las reglas del dodecafonismo (mucho más estrictas que las «ataduras» del sistema tonal de las que se pretendía huir) nos reducen bastante la cantidad final disponible. Concretamente, para el que tenga prisa por saber la solución (el resto que siga leyendo), el material total asciende a:
Siguen siendo un buen puñado, pero desde luego ya no parecen «inacabables», y más teniendo en cuenta que se evitaban las progresiones que sonasen «tonales» (como Do-Mi-Sol, por ejemplo), así que de esos 10 millones realmente habría que quitar muchas más.
¿Cómo hemos sacado la cuenta? Antes que nada, para aclararnos mejor a partir de ahora, vamos a identificar cada nota con un número (o con una letra cuando se nos acaben los números), a saber: 0123456789AB. En primer lugar, hay que conocer un par de reglas fundamentales:
- Los once transportes posibles de una serie se consideran el mismo material. Transportar una serie consiste en sumarle a todas las notas un número de semitonos constante. Por ejemplo, {0123456789AB} + 1 = {123456789AB0} (perdonadme por esta notación improvisada). Es de recibo, por tanto, dividir entre doce esos casi 500 millones iniciales.
- Cada serie tiene 3 derivadas que se consideran el mismo material: la inversión, la retrogradación, y la retrogradación de la inversión. I, R y RI respectivamente a partir de ahora. La I consiste en invertir el sentido de la serie (para {0123456789AB}, I = {0BA987654321}); la R consiste en leerla de atrás hacia adelante (para {0123456789AB}, R = {BA9876543210}); y la RI consiste en realizar ambas cosas (para {0123456789AB}, RI = {123456789AB0}).
Resumiendo, cuando un compositor elige su material para comenzar a componer una obra dodecafónica, escoge una serie. Y esta serie le proporciona un material compuesto de 48 series que se consideran la misma y que puede utilizar a su antojo: la original, la I, la R, la RI y los transportes de todas ellas. Parece lógico, entonces, dividir entre cuatro la cantidad que nos había quedado de eliminar los transportes (al dividir entre doce en el primer punto). Sin embargo, aquí surge una dificultad: hay ciertas series con características muy peculiares que únicamente tienen una derivada (más los transportes, eso siempre). Me refiero a las series con simetría par y las series con simetría impar.
- En las series con simetría par (como ejemplo, una famosa de Webern: {967845BA2103}), la R coincide con la original (transportada), y la RI coincide con la I. Por lo tanto, únicamente tenemos dos en lugar de cuatro: O (original) e I.
- En las series con simetría impar (como ejemplo, la de antes: {0123456789AB}), la RI coincide con la O, y la R con la I. Por lo tanto, también tenemos dos: O e I.
La dificultad de este problema, radica en contar el número de series con simetría que existen: estas habrá que dividirlas entre dos y el resto entre cuatro. Para esta tarea, vamos a considerar que hemos eliminado todos los transportes dividiendo esos 500 millones entre 12. Daos cuenta de que esto es equivalente a fijar la primera nota a (por ejemplo) {0} y escoger las otras 11.
Series con simetría par
El tritono (diferencia de 6 en nuestro sistema de números) es el único intervalo que al invertirlo se queda igual. Si invertimos {06} nos queda {06} (sumar o restar 6 a {0} nos da siempre {6}). Por lo tanto, una serie tendrá simetría par si y sólo si cada par de notas opuestas (primera y última, segunda y penúltima, etc.) tienen una diferencia de 6. En la escala existen 6 tritonos: {06}, {17}, {28}, {39}, {4A} y {5B}. Así pues, se trata de permutaciones de 5 elementos (recordad que hemos fijado la primera nota a {0}, y por tanto, la última a {6}) y además cada uno de ellos tiene dos posiciones ({17} ó {71}, por ejemplo). Por ello, el número de series con simetría par (sin contar los transportes) es de 
Series con simetría impar
Estas son más complejas. Vamos a ir poniendo notas en la serie de fuera hacia dentro. Tenemos la primera, {0}, y en principio 11 posibilidades para la última. Existen dos casos: que la diferencia entre la primera y última nota sea par o que sea impar. Si la diferencia es par, a la hora de colocar la segunda nota y la penúltima tenemos un problemón: tenemos vetadas dos notas. ¿Por qué? Imaginemos que escogemos {0} y {8} como primera y última nota. Si queremos poner {4} como segunda nota ({0} + 4 = {4}) nos obliga a que la penúltima nota sea {8} — 4 = {4} (!!). Imposible: no se pueden repetir notas. Lo mismo sucede en este ejemplo con la nota {A}. Bien, no hay problema, escogemos otra nota que no sea {4} ni {A}. ¿Qué ocurre entonces? Que pongamos la que pongamos como segunda, nos va a dar una diferencia con la penúltima que va a ser par, luego, a la hora de colocar la tercera nota, nos encontramos con el mismo problema que antes. Si seguimos con el razonamiento, vamos a llegar a la elección de las dos últimas notas y volveremos a tener dos notas vetadas, ¡pero ya no quedan otras!
Conclusión: una serie podrá tener simetría impar si y sólo si la diferencia entre cada par de notas opuestas (primera y última, segunda y penúltima, etc.) es impar. Y es fácil ver que una característica necesaria y suficiente para que se cumpla lo anterior es que la diferencia entre las notas de los extremos sea impar. Volviendo a nuestro planteamiento, si la primera nota es {0}, la última sólo puede ser {1}, {3}, {5}, {7}, {9} ó {B}. 6 opciones. Con dos fijadas, para la segunda nota tenemos 10 posibilidades y, a su vez, fijar esta nota determina la penúltima. Con cuatro fijadas, para la tercera nota tenemos 8 posibilidades… etc. El número total de series con simetría impar (sin contar los transportes) es de 
Y para terminar y hallar esas casi 10 millones de series, realizamos el siguiente cálculo:
Gracias a Tito Eliatron por su ayuda y su paciencia, y enhorabuena al que haya llegado hasta el final de este ladrillo.
[…] ¿Cuántas series dodecafónicas diferentes hay? http://www.enchufa2.es/archives/cuantas-series-dodecafonicas-difere… por eliatron hace 6 segundos […]
Aunque parezca baladí, para poder realizar correctamente estas cuentas hay que ser todo un experto en música y matemáticas, ya que no sólo hay que comprender y tener asimilados los conceptos de series pares e impares y conocer cómo funcionan, sino que hay que tener la capacidad matemático-lógica de caracterizar este tipo de series.
Como te dije por twitter, gracias a ti por haberme enseñado tanto de un tema en el que soy algo analfabeto.
No he entendido nada. Pero vislumbro la tarea que ha tenido con la entrada maese Iñaki. Lo único que se es que Schoenberg hace llorar a mi mono. :)
Buffff, muy buena entrada. Solo te falta decir una cosa: que musicalmente es poco interesante.
De acuerdo en que llevan por detrás una matemática importante y complicada.
Pero para el intérprete, estas canciones son difíciles de tocar, pues te faltan la tensión y el reposo propios de la música tonal.
Y para el oyente son un coñazo absoluto. (Por eso llora el mono de Heli con Schönberg) ;)
@Fisilosofo: ¿Matemáticas complejas para hacer dodecafonismo? Ni de coña: no hace falta ser un experto en matemáticas para rellenar sudokus. Para ordenar los sonidos del 1 al 12 de distintas maneras, sólo hace falta paciencia y un oído de piedra.
Lo que sí hace falta es ser un crack para currarse semejante entrada, para averiguar cuántos sudokus diferentes hay. Ahí es donde se hacen imprescindibles las matemáticas.
La putada es que la entrada sea tan compleja. Una lástima no haberla dividido en varios posts más sencillitos.
@Fisilosofo:
Estoy de acuerdo en todo lo que dices, a excepción de la complejidad en las matemáticas. Sólo que nuestro sistema educativo no nos da una base sólida, y en muchos casos nos acaba alejando de lo abstracto.
Aparte, es sorprendente ver los paralelismos con la Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales.
Como siempre, chapeau para los enchufa2.
Perdonad, que me he explicado mal.
Iba más en el sentido del último comentario de Adri:
que para lo que se explica de matemáticas en la escuela, mal. Aunque no es que sea complicado, pero no creo que sepan lo que es el produtorio :D.
Ahh, y se me olvidaba. Respecto a lo de las tríadas impares: ¡Diabulus in musica! ¡Canción de pecadores! ;)
El productorio sólo es una manera de condensar el término 10x8x6x4x2. Y las matemáticas que he utilizado son de Bachillerato.
¿no es cierto que el productorio es 2^5 * 5! ?
10×8×6×4×2 = 32* 5!
Así pues quedaría: (11! + 2*5! + 6*32*5!) /4 =
= (11! + 194*5!) /4 =
= 11!/ 4 + 97*5! /2 =
= 9985020
Pfff, para una neurona sana que me quedaba…
Vaya bellezón de post.
Y sólo quiero añadir que, para mi, como interprete y como oyente, el dodecafonismo es infumable. Otra cosa es que su análisis formal sea interesante, que lo es.
@Aloisius: No, si para mí también. Esto tuvo su momento y se estudia porque tiene importancia histórica, ya que influyó en las corrientes posteriores, pero nada más. Pronto se convirtió en un callejón sin salida.
Este post es anecdótico. Mi intención es cubrir un vacío de información: el otro día en clase de Análisis hablábamos del dodecafonismo y me surgió la duda. ¿Qué hice? Obviamente, buscar en Google. Una búsqueda que no me aportó ningún resultado. De esta manera, el siguiente que tenga la misma duda que yo y busque en Google, hallará este blog y la respuesta.
a mi me ha servido.. soy musico a nivel de interprete y en cuestion de calculos no creo que supere a la media (estudio una carrera de letras), acabe aqui buscando informacion «biografica» y ahora al menos puedo trabajar con las series, no se, solo hay que leer con atencion y hacer subconsultas a gugle, admito que alguna que otra duda me ha quedado.
me parece que auditivamente rompe con los esquemas, más esta música tiene forma y coherencia y esta muy bien pensada por eso el mono no la comprende porque es un animal.