Disponemos de 12 monedas y una balanza. Sabemos que una de las monedas es defectuosa, pero no sabemos si pesa más o menos que las demás. ¿Cómo podemos averiguar cuál es la moneda defectuosa y si pesa más o menos con un total de tres pesadas?
Y recordemos también que habíamos obtenido que la manera óptima de resolverlo es tratando de comparar siempre un tercio con un tercio de las monedas.
Me consta que alguno que otro se ha estado rompiendo la cabeza con el problemilla de marras. La verdad es que tiene su miga, y no es para nada obvio. Recomiendo coger un lápiz y un papel para seguir el proceso.
La solución
En la primera pesada, lógicamente, compararemos cuatro y cuatro monedas, dejando otras cuatro fuera. De aquí se desprenden dos posibles situaciones: que la balanza se quede equilibrada, o que se desequilibre (me da igual hacia qué lado, puesto que las monedas son todavía anónimas para mí).
1.- Equilibrio. La moneda defectuosa está entre las cuatro apartadas. Las llamaremos 1, 2, 3 y 4. Nos quedan dos pesadas para averiguar cuál de ellas es. Como no se puede hacer un tercio de cuatro, ni nada que se aproxime lo suficiente, vamos a aumentar el número de monedas hasta seis añadiendo dos buenas (de las ocho descartadas en la primera pesada). Éstas las denotaremos por B.
Así sí podemos dividirlas en tres partes, pero hay que tener cuidado, porque las dos monedas buenas, si están juntas, no nos aportan ninguna información, así que las dividiremos en 1-2, 3-B y 4-B. En la balanza, comparamos 1-2 con 3-B. Tenemos tres casos:
- Equilibrio: significa que la moneda 4 es la defectuosa. Tenemos otra pesada más en la que compararemos 4 con B para determinar si pesa más o menos.
- 1-2 pesa más que 3-B: significa que, o bien 3 es la defectuosa y pesa menos, o bien 1 ó 2 es la defectuosa y pesa más. Compararemos 1 con 2 para verificar si una de las dos pesa más. Si quedan en equilibrio, la defectuosa es la 3.
- 1-2 pesa menos que 3-B: mismo caso que el anterior, pero con los papeles cambiados. Compararemos 1 con 2 para verificar si una de ellas pesa menos. Si quedan en equilibrio, la defectuosa es la 3 y pesa más.
2.- Desequilibrio. Tenemos ocho monedas candidatas a las que denotaremos de la siguiente manera: 1–, 2–, 3– y 4– serán las monedas candidatas a pesar menos (las que hayan quedado en el plato más alto); 5+, 6+, 7+ y 8+ serán las monedas candidatas a pesar más (las que hayan quedado en el plato más bajo). Misma operación que antes y por la misma razón. Ocho no es divisible por tres, así que añadimos una moneda buena B de las cuatro ya descartadas y así tenemos nueve.
Las dividimos en tres partes, como antes, pero aquí viene lo interesante. Sabemos algo muy importante de cada moneda, y es ese más o ese menos que acompaña a cada una y que las convierte automáticamente en candidatas a pesar más o a pesar menos respectivamente. Por lo tanto, podemos mezclarlas un poquito, para obtener más información. Así que los grupos serán los siguientes: 1–-5+-B, 2–-3–-7+ y 4–-6+-8+. Comparamos 1–-5+-B con 2–-3–-7+. Tenemos tres casos:
- Equilibrio: significa que la defectuosa se encuentra en 4–-6+-8+. Con otra pesada, comparamos 6+ y 8+. Si quedan en equilibrio, la culpable es la 4 y pesa menos; si no, la que quede en el plato más bajo es la defectuosa y pesa más.
- 1–-5+-B pesa más que 2–-3–-7+: significa que, o bien la 5 es la defectuosa y pesa más, o bien 2 ó 3 es la defectuosa y pesa menos. Compararemos 2 con 3 para verificar si una de las dos pesa menos. Si quedan en equilibrio, la defectuosa es la 5.
- 1–-5+-B pesa menos que 2–-3–-7+: significa que, o bien la 7 pesa más, o bien la 1 pesa menos. Compararemos cualquiera de ellas con una moneda buena.
Ahí lo tenéis. Tres pesadas, y siempre un tercio con un tercio. Como curiosidad, podéis repetir el mismo problema con el mismo método, pero con 13 monedas en lugar de con 12. Veréis que podéis averiguar siempre qué moneda es la defectuosa, pero habrá un caso en el que no sabréis si pesa más o pesa menos.
….bueno, el otro dia, de cañas, comentando este problema con un amigo mio, me dio una solucion más sencilla, siempre y cuando pueda pesar cuantas monedas quiera en la balanza….
1ª pesada: seis y seis monedas, la balanza se desequilibra hacia uno de los lados.
2ª pesada: tres y tres, y me guardo tres. Si la balanza se desequilibra, me quedo con esas tres monedas, si no, con las que tengo en la mano.
3ª pesada: una y una y me quedo con una en la mano. Si se desequilibra esa es la moneda que pesa distinto, si no, es la que tengo en la mano!
….sirve?….
Me temo que no. Hace aguas por todas partes. Para empezar, en la primera pesada pesas seis y seis, y se desequilibra. Vale. ¿En qué plato de la balanza está la moneda defectuosa? Porque no sabes si pesa más o menos. Así que la segunda pesada ya no la puedes hacer como tú dices.
Hola, Iñaki:
He escrito un programa para practicar con este problema. No es programa que lo resuelva si no más bien que te reta a resolverlo. Pruébalo:
http://papelitos.net/wp/2008/11/15/balanza-impertinente/
bueno ya yo creo q se dividen las monedas en 4 grupos de 3
primera pesada: se pesan 6 monedas 3 de un lado y tres de otro si se equiilibran la falsa no esta ahi.
nos quedan 6 monedas ahora las dividimos en 3 grupos de 2 monedas
segunda pesada: colocamos 2 monedas de una lado y dos del otro si se equilibran ahi no esta la falsa .
tercera pesada: nos queda las ultimas dos monedas.
no sabemos si pesa mas o menos asi que no es combeniente pesarlas juntas asi que de las 2 que nos sobran solo tomamos una y otra de las que ya sabemos son original
luego pesamos las monedas si se equilibra la queno elegumos es la falsa y se desequilibra la que tomamos es la falsa
@renan: ¿Y si en la segunda pesada se desequilibra la balanza? Tu solución no es válida, lo siento. El único método válido para resolver el problema es el propuesto en este post.
Es una solución con mucha casuística. He hecho este esquema, una solución gráfica para que sean más comprensibles las iteraciones. http://img26.imageshack.us/img26/3122/monedicascopia.jpg
El dibujico aterior tenía dos fallitos en la tercera pesada. Este sería más correcto:
http://img88.imageshack.us/img88/3122/monedicascopia.jpg
en el caso de que las 4 monedas se equilibren con las otras 4, la defectuosa esta en las 4 apartadas
a esas cuatro apartadas ( 1,2,3,4) las juntaremos con 2 de las buenas (b,b) de modo que pesaremos 1,2 con 3b.
si 1,2 pesa mas que 3,b puede ser que la defectuosa sea 1,2 ó 3 ,por lo que la ultima pesada la utilizaremos para pesar 1 con 2. Si se equilibran, 3 es la defectuosa y resulta pesar menos.
Pero si no se equilibran…..necesitamos de una 4º pesada para saber si pesa menos o mas que el resto……..por lo que esa opcion no valdría.
perdonaz, si que valdría. he hecho mal los calculos….en la 3º pesada en la que comparamos 1 y 2 , la defectuosa es la que pesa mas, ya que sabiamos que si alguna de ella era la defectuosa era porque pesaba mas…ok, perndonen.
@Iñaki:
meir me temo ponerte en equivocacion hay un metodo sumamente sencillo y facil
1er pesada = 1234 / 5678 (digamso que se balanceo) eso indica que la falsa esta en 9 10 11 o 12 y que las demas SON VERDADERAS
2da pesada solo 3 monedas 9 10 11 / 3 VERDADERAS DIGAMOS que LA BALANZA SE INCLINA A LA IZQ ESO NOS INDICA QUE LA MONEDA FALSA
1.- = MAS PESADA y que esta entre las monedas 9 10 o 11
3ra ultioma pesada se colocan solo dos moendas 9 / 10 si se igualan la 11 es la falsa y pesa mas si no se igual n solito se delata la falsa
¿correcto?
@meir: ¿Y si en la primera pesada la balanza se inclina?
Todo el mundo tiende a suponer demasiadas cosas ¡¡Hay que considerar todas las posibilidades!!.
Paciencia Iñaki.:p
NO ME GUSTA LA SOLUCIÓN DE IÑAKI, LA MÍA ES MÁS SENCILLA:
primero pesamos 6 monedas, si se desequilibra actuamos sobre estas 6 monedas y deschamos las otras 6 sinó actuamos sobre las otras 6.
sobre las 6 monedas que actuamos, pesamos 2 y 2, y se dejan 2 monedas reservadas,
si no se descompensa, quitamos 1 moneda de cualquier platillo y la cambiamos por 1 de las 2 que hemos reservado, si se descompensa es esa la culpable, que no se descompensa es la otra que hemos reservado
si por el contrario se descompensa,
cambiamos 1 moneda del primer platillo con 1 del segundo platillo y a la misma vez quito la otra del platillo y la cambio por una moneda de las reservadas,
si no se balancea, entonces la que queda en el otro platillo es la culpable y pesa más o menos que las otras dependiendo hacia donde se quede.
si se balancea hacia el otro lado, entonces la que se ha cambiado de un platillo al otro es la culpable y pesa más o menos que las otras.
si se igualan quiere decir que la moneda que hemos cambiado por una de reserva es la culpable.
@JUAN ANTONIO: Tú solución no es correcta porque hay casos en los que no sabes si la culpable pesa más o menos que las demás.
Para realizar la segunda pesada. Equilibrio: significa que la defectuosa se encuentra en 4–6+-8+. Con otra pesada, comparamos 6+ y 8+. Si quedan en equilibrio, la culpable es la 4 y pesa menos; si no, la que quede en el plato más bajo es la defectuosa y pesa más.
¿Qué pasaría por ejemplo si la defectuosa es la que pesa menos? Porque aquí pareciera que estás asumiendo que la que pesa más es la defectuosa.
Saludos y gracias por la solución.
@Tania: El signo que llevan asociado las monedas indican que, si la moneda es defectuosa y lleva un «+», es que pesa más. Y lo contrario para el «-«. Esa información se consigue con la primera pesada.
Bien iñaki!, los demas no saben nada.. son todos pumas de bengala!