Escribir del 1 al 100 con el número 2

Se trata del típico juego matemático: ¿cómo podríamos escribir todos los números del 1 al 100 utilizando únicamente el número 2 junto con las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división, raíces, potencias y logaritmos)? Por ejemplo:

$1=\displaystyle \frac{2}{2} \mbox{ ; } 5=2^2+\displaystyle \frac{2}{2} \mbox{ ; etc.}$

Éste fue el problema que se plantearon físicos y matemáticos de la Universidad de Göttingen cuando Paul Dirac, que pasó por allí de visita, les planteó la siguiente ecuación:

$N=-\log_2 \log_2 \sqrt{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{2}}}}$

Donde $N$ es el número que queremos escribir, y el número de raíces también es igual a $N$ . Brillante solución, puesto que no sólo sirve para los números de 1 a 100, sino que sirve para cualquier número natural. Para los que no os lo acabéis de creer, vamos a desarrollarla.

$N=-\log_2 \log_2 \sqrt{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{2}}}}=-\log_2 \log_2 2^{\left ( \frac{1}{2} \right ) ^N}=$

$=-\log_2 \left ( \left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right ) ^N \log_2 2 \right )=-N \log_2 \displaystyle \frac{1}{2}=N$

Como queríamos demostrar. ¿Los logaritmos están oxidados? Bah, es sencillo, ¿no? Además, esta solución nos sirve para emplear cualquier otro número en lugar del 2. Por ejemplo, con el número $e$ …