El problema de las 12 monedas

Publicado el por Iñaki Úcar

Hoy os quiero plantear un pequeño reto para que penséis un ratito: el problema de las 12 monedas. Sin embargo, antes de meternos en harina, analizaremos un problema mucho más sencillo del que extraeremos una conclusión muy importante a la hora de lanzarnos a resolver el otro.

Vamos a plantear entonces el siguiente reto preliminar:

Disponemos de 9 monedas y una balanza. Sabemos que una de las monedas es defectuosa y pesa menos que las demás. ¿Cómo podemos averiguar cuál es la moneda defectuosa con un total de dos pesadas?

Si bien al principio resulta sorprendente (¡pesando dos veces únicamente?), en realidad si lo pensáis un poco es muy fácil, lo resolveréis enseguida. A continuación muestro la solución. Está oculta para el que no quiera leerla y prefiera sacarla por sí mismo. Si sois unos impacientes, pinchad a continuación y se os mostrará.

Solución (pincha AQUÍ para ver la solución):

¿Fácil, no? Pues gracias a este ejemplo hemos llegado a un resultado muy importante: necesitamos descartar el máximo número de monedas en cada pesada para conseguir nuestro objetivo en el menor número de intentos posible. Y nos hemos dado cuenta intuitivamente de que esto se consigue comparando un tercio con un tercio de las monedas. Para resolver este tipo de problemas es fundamental tener esto último siempre en mente, porque a veces no resulta tan intuitivo.

Ya hemos calentado motores. Ahora vamos con el problema de verdad:

Disponemos de 12 monedas y una balanza. Sabemos que una de las monedas es defectuosa, pero no sabemos si pesa más o menos que las demás. ¿Cómo podemos averiguar cuál es la moneda defectuosa y si pesa más o menos con un total de tres pesadas?

La cosa se complica. Os dejo tiempo para pensarlo y ya publicaré la solución. Necesitaréis un lápiz y un papel. Suerte.

Recordad la conclusión a la que hemos llegado antes, ya que es la manera correcta de afrontar este tipo de problemas. Y se puede demostrar también matemáticamente. Como bola extra, para el que le interese, pongo un pequeño análisis matemático al respecto.

La teoría de la información nos dice que la cantidad de información I que extraemos en cada pesada es igual a la incertidumbre H (o entropía) inicial menos la final. Si ponemos en cada lado de la balanza r monedas de un total de n, tenemos que:

I(r)=H_{inicial}-H_{final}(r)=\log_2 n-\left [ \displaystyle \frac{2r}{n} \log_2 r + \displaystyle \frac{n-2r}{n} \log_2 (n-2r) \right ]

Se demuestra que la información se maximiza cuando r=\displaystyle \frac{n}{3}, y es igual a:

I(\frac{n}{3})=H_{inicial}-H_{final}(\frac{n}{3})=\log_2 n-\left [ \displaystyle \frac{2}{3} \log_2 \frac{n}{3} + \displaystyle \frac{1}{3} \log_2 \frac{n}{3} \right ]=\log_2 3

Por lo tanto, si en cada pesada extraemos una cantidad de información igual a \log_2 3, necesitaremos un total k de pesadas mayor o igual que la incertidumbre inicial partido por la información máxima. Es decir:

k \ge \displaystyle \frac{\log_2 n}{\log_2 3}

En el primer caso, con nueve monedas,

k \ge \displaystyle \frac{\log_2 9}{\log_2 3}=2

7 comentarios sobre “El problema de las 12 monedas”

  1. YO YO YO!
    Ponemos 4 monedas en cada lado y nos quedamos con 4
    a) Si la balanza se mueve, las 4 que tenemos las tiramos a la basura, con lo que nos quedamos con 8 posibles defectuosas.
    Entonces cogemos dos monedas de cada baneja, nos quedamos con 4 en la mano y con 2 en cada bandeja.
    a)-1) Si la bandeja se mueve, Tiramos las 4 que tenemos en la mano y nos quedan 2 en cada bandeja, de modo que quitamos una de cada, nos quedamos con 2 en la mano y con 1 en cada balanza.

    Entonces es cuando nos damos cuenta que este método no vale y tenemos que tilizar otro……..en fin ahora vuelvo……

  2. uff sé que este problema tiene solución pero que es complicada de encontrar.. que efectivamente hace falta papel y bolígrafo…

    Hace años cuando trabajaba en Holanda un compañero nos propuso esta adivinanza a varios y nos apostamos una tarta a si la resolvíamos o no… y creo que no hubo mucha suerte :) Eso sí, la tarta estaba muy rica :)

  3. Jaja, ESE PROBLEMA DE CRIPTOGRAFÍA!! Me costó sudores resolverlo sin mirar la solución :P

  5. Es bien sencillo, primero pesas tres y tres, de cada lado, si quedan balanceadas, retiras las seis, y pesas una y una del grupo que quedo abajo, si queda balanceada, la de diferente peso es la que quedo abajo de la balanza.

  6. bueno ya yo creo q se dividen las monedas en 4 grupos de 3
    primera pesada: se pesan 6 monedas 3 de un lado y tres de otro si se equiilibran la falsa no esta ahi.

    nos quedan 6 monedas ahora las dividimos en 3 grupos de 2 monedas

    segunda pesada: colocamos 2 monedas de una lado y dos del otro si se equilibran ahi no esta la falsa .

    tercera pesada: nos queda las ultimas dos monedas.
    no sabemos si pesa mas o menos asi que no es combeniente pesarlas juntas asi que de las 2 que nos sobran solo tomamos una y otra de las que ya sabemos son original
    luego pesamos las monedas si se equilibra la queno elegumos es la falsa y se desequilibra la que tomamos es la falsa

  7. ¡Tengo la solución! Y no es lo que decís, es bastante más complicadito!
    ¡Gran rompecabezas!

Comentarios cerrados.