La ecuación del botijo

Publicado el por Iñaki Úcar

Corría el año 1990 cuando Gabriel Pinto, profesor de Química en la Escuela Técnica Industrial de la Universidad Politécnica de Madrid, se compró un botijo y se dispuso a tomar medidas en sus ratos libres del conocido efecto botijo. Su objetivo era construir un modelo matemático válido para cualquier tipo de botijo o recipiente cerámico poroso que relacionase sus características con su capacidad de enfriar el agua.

El dispositivo experimental constaba de un botijo clásico en el que se introdujeron 3,2 litros de agua a 39 ºC y este, a su vez, se mantuvo a esa misma temperatura en un horno de laboratorio, con una humedad relativa del 42%. Cada cierto tiempo, Pinto fue midiendo la masa del botijo (para determinar la masa de agua evaporada) así como la temperatura del agua. De esta manera, observó que en unas 7 horas el agua se había enfriado 15 ºC, alcanzando los 24 ºC. A partir de ese punto, el agua comenzaba a calentarse de nuevo, debido a que ya se había evaporado aproximadamente medio litro. Al cabo de tres días, las últimas gotas de agua que quedaban volvían a alcanzar la temperatura ambiente de 39 ºC.

A la par, Pinto desarrolló un modelo matemático, como hemos comentado, que iba ajustando gracias a los datos experimentales. Había considerado multitud de factores, sin embargo, había algo que seguía sin cuadrar: las ecuaciones le conferían al botijo una capacidad ilimitada de enfriar.

Entonces fue cuando apareció el otro protagonista de nuestra historia, José Ignacio Zubizarreta, también profesor de Química. Él fue el que dio con el detalle que faltaba en el modelo, algo que Pinto había pasado por alto: el calor de radiación que aporta el aire que se encuentra en el interior del recipiente. Con esta última consideración, los datos casaban a la perfección.

Así, en 1995, ambos profesores publicaron en la revista Chemical Engineering Education, vol. 29, de Estados Unidos, el artículo An ancient method for cooling water explained by means of mass and heat transfer.

El resultado del trabajo, de carácter pedagógico, fueron dos ecuaciones diferenciales que relacionaban todos los parámetros. El modelo seguido, una vez más, empieza como el famoso chiste de la vaca: supongamos que tenemos un botijo con geometría esférica… Y, por fin, las susodichas:

-\displaystyle\frac{dV}{dt}=K^\prime\cdot a\cdot(H_s-H)

V\cdot C_p\cdot\left(\displaystyle\frac{dT}{dt}\right)=h_c\cdot a\cdot(T_g-T_s)+f\cdot\epsilon\cdot\sigma\cdot\left[(273+T_g)^4-(273+T_s)^4\right]\cdot

\cdot(4\pi r^2-s)-U\cdot a\cdot(T-T_s)-\lambda_w\cdot\left(\displaystyle\frac{dV}{dt}\right)

Donde:

  • V \equiv volumen o masa de agua
  • C_p \equiv capacidad calorífica del agua
  • T \equiv temperatura del agua
  • t \equiv tiempo
  • h_c \equiv coeficiente de convección
  • a \equiv superficie externa del agua
  • T_g \equiv temperatura del aire
  • T_s \equiv temperatura de la superficie del agua
  • f \cdot \epsilon \cdot \sigma \equiv coeficiente de radiación de calor
  • 4 \pi r^2 \equiv superficie total del botijo
  • s \equiv superficie del agua en contacto con el aire
  • U \equiv coeficiente de transmisión de calor del agua
  • \lambda_w \equiv calor de vaporización del agua
  • K^\prime \equiv coeficiente de transferencia de masa para el agua
  • H_s \equiv humedad de saturación
  • H \equiv humedad del aire

botijo

17 comentarios sobre “La ecuación del botijo”

  1. La ecuación del botijo…

    Corría el año 1990 cuando Gabriel Pinto, profesor de Química en la Escuela Técnica Industrial de la Universidad Politécnica de Madrid, se compró un botijo y se dispuso a tomar medidas en sus ratos libres del conocido efecto botijo… Entonces fue…

  5. Está bien la explicación; de todas formas, sin animo de desestimar el estudio de ambos quimicos, estas ecuaciones no son mas que un caso especifico de ecuaciones de transferencia de calor generales, resueltas de forma diferencial;
    De todas formas, xapo!!!!!

  6. En eso pierden el tiempo los profesores de la ETSII mientras que sus alumnos salen descornados de buscarse la vida para aprobar sus exámenes de paranoicos…en fin, juzgen ustedes mismos.

  13. Agradecería que alguien analizara con el mismo rigor la siguiente afirmación intuitiva:
    Dado un tubo por el que circula un fluido a temperatura superior a la del entorno y está forrado con una capa de material aislante térmico, creo que existe un determinado espesor de forro para el que se transmite más calor que sin él.
    Gracias

  14. Explicar el contenido real de la frase:

    La posibilidad es el elemento subjetivo de lo pro-
    bable.

  15. «Dado un tubo por el que cir­cu­la un flui­do a tem­pe­ra­tu­ra su­pe­rior a la del en­torno y está fo­rra­do con una capa de ma­te­rial ais­lan­te tér­mi­co, creo que exis­te un de­ter­mi­na­do es­pe­sor de forro para el que se trans­mi­te más calor que sin él.
    » – transforma la esfera en un tubo

  16. La po­si­bi­li­dad es el ele­men­to sub­je­ti­vo de lo pro-
    bable.

    – sin entrar en disquisiciones sobre lo real, entiendo que la posibilidad refleja la esperanza de lo probable, he ahí la subjetividad :)

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